Probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto)

Algunas situaciones de probabilidad implican más de un evento. Cuando los eventos no se afectan entre sí, se les conoce como eventos independientes. Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Muchas otras situaciones también pueden incluir eventos independientes. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos saber si un evento influye en el resultado de otros eventos.

Eventos Independientes

La principal característica de una situación con eventos independientes es que el estado original de la situación no cambia cuando ocurre un evento. Existen dos maneras de que esto suceda:

Los eventos independientes ocurren ya sea cuando: ·         el proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible resultado o ·         el proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido antes de que suceda una segunda acción. (A esto se le llama sacar un reemplazo.)

Aquí hay ejemplos de cada caso:

Situación	Eventos	Por qué los eventos son independientes
Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?	El primer lanzamiento no es un 6. El primer lanzamiento es un 6.	El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")
Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?	Sacar una canica roja en el primer intento. Sacar una canica roja en el segundo intento.	Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.
Sacas una carta de un mazo de 52 cartas, y luego lanzas un dado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 y luego lanzar y que caiga 2?	La carta es un 2. El dado cae en 2.	Aunque la carta no es regresada al mazo después de sacarla, el lanzamiento del dado no depende de las cartas, por lo que ningún posible resultado ha sido reemplazado. A pesar del resultado de sacar la carta, la probabilidad de del dado no será afectada.

Examinemos el segundo ejemplo. En el primer intento, la probabilidad de sacar una canica roja es , porque hay 5 canicas y 2 de ellas son rojas. Si volvemos a poner la canica roja dentro de la bolsa, la probabilidad de sacar una canica roja en un segundo experimento sigue siendo , y eso significa que los dos eventos son independientes. El resultado de un experimento no afecta el resultado del otro.

Pero, ¿qué hubiera pasado si no pones la primera canica de nuevo en la bolsa? La probabilidad de sacar una canica roja será diferente para el segundo intento. Si una canica roja es eliminada, en el segundo intento la probabilidad será ahora de  porque sólo quedan 4 canicas y una es roja.

Ahora veamos el primer ejemplo. Supongamos que el dado se lanzó 15 veces sin sacar un 6. En el siguiente lanzamiento , ¿es la probabilidad de sacar un igual a , o es mayor? Algunas personas creen que en el siguiente lanzamiento es más probable que les salga un 6 porque "¡Ya me toca un 6!" — el dado no puede recordar qué fue lo que sacó antes. Si bien es un poco inusual tirar un dado 16 veces sin sacar un 6, la probabilidad de sacar un 6 en 15 tiradas ha sido la misma en cualquiera de las tiradas.

Eventos independientes

Si la ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad de otro evento, los dos eventos son eventos independientes .

Ejemplo :

Considere el experimento de lanzar una moneda dos veces. El espacio muetral para el experimento es {( h, h ), ( h, t ), ( t , h ), ( t, t )}. Digamos que A es el evento que una cruz es obtenida en la primera lanzada y B es el evento que una cara es obtenida en la segunda lanzada. 

    A = {( t, t ), ( t, h )} y B = {( h, h ), ( t, h )}

A y B no son exclusivos mutuamente porque A ∩ B = {( t, h )} pero ellos son independientes porque obtener una cruz en la primera lanzada no afecta el resultado de la segunda lanzada.

     

Dos eventos son independientes si y solo si  .

https://www.youtube.com/watch?v=AT78AzlPjnM&vl=es-419

GRÁFICAS CON SECCIONES RECTAS O CURVAS

INTRODUCCIÓN

En términos generales la palabra gráfica se refiere  a la representación de datos casi

siempre numéricos.

En este tema es necesario interpretar y elaborar gráficas formadas por segmentos de recta que modelen situaciones relacionadas con movimiento, llenando de recipientes, etc.

Gráficas de funciones cuadráticas

emás de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinomiales con las que trabajamos en el álgebra es la función cuadrática. Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax² + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

Graficando con Puntos

Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática:

x	y = x2
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos algunos puntos para ver cómo se vería la función:

Después de graficar algunos puntos, podría ser tentador conectar los puntos con segmentos de línea, que son rectos. Pero esto estaría mal, y produciría un patrón que no representa la función.

Borremos esas líneas rectas y grafiquemos el resto de los puntos:

Ahora dibujamos una curva suave conectando los puntos.

¡Mejor! Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola. Los valores de la función cambian suavemente, por lo que la curva debe ser suave también. Ahora que podemos ver la naturaleza de la parábola (forma de U), veamos su forma en detalle.

Características de una Parábola

La forma estándar de una ecuación cuadrática es . Por ejemplo , el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola.

Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta". Nota que en el vértice, la parábola cambia de dirección:

El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo. En el caso de que la parábola abra hacia arriba, el vértice será su punto más bajo; y una parábola que abre hacia abajo, tendrá un vértice en su punto más alto.

Todas las funciones parabólicas tienen un eje de simetría vertical, una línea imaginaria que pasa a través de la mitad de la forma de U y la divide en dos mitades que son imágenes de espejo una de la otra. El eje de simetría siempre pasa por el vértice. Cualquier par de puntos con el mismo valor de y estarán a la misma distancia del eje. En la gráfica interactiva siguiente, haz clic y arrastra el punto A y ve cómo se mueve el punto A'. Nota que el eje de simetría actúa como un espejo entre A y A’.

FIGURAS HOMOTÉTICAS

INTRODUCCIÓN Se abordan en esta unidad conceptos elemental sobre homotecia y algunos enunciados referidos al teorema de Tales desprovistos del rigor de las demostraciones pero con la ventaja de poder comprobar sus conclusiones y propiedades de manera sencilla. Como conclusión se plantean los casos de semejanza de triángulos y polígonos en general, también de manera manipulativa.Se realiza un acercamiento a las relaciones métricas en un triángulo rectángulo: los teoremas del cateto y la altura.

CONOCE Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa.

HOMOTECIA :

La Homotecia es una transformación geométrica, una correspondencia entre dos figuras en la que se cumple que las parejas de puntos homotéticos están alineados con el centro de homotecia O y los segmentos homotéticos son paralelos.

Homotecia Directa :

Cuando los dos puntos homotéticos se encuentran al mismo lado respecto al centro, la homotecia es directa .

Las figuras homotéticas directas son semejantes y nunca son equivalentes.

 Homotecia Inversa : Cuando los puntos homotéticos se encuentran alineados con el centro pero en extremos opuestos de las radiaciones, la homotecia es inversa. En este caso la figura no es semejante, es el producto de dos simetrías axiales cuyos ejes, uno vertical y otro horizontal pasan por el centro de homotecia.    Factor de proporcionalidad en la Homotecia : El factor de proporcionalidad o razón de semejanza entre figuras homotéticas directas es siempre positiva. Las figuras homotéticas inversas responden a un factor de proporcionalidad negativo, son equivalentes si el factor de proporcionalidad es -1.

EL TEOREMA DE TALES

EL teorema de Tales se considera el teorema fundamental de la semejanza de triángulos y establece lo siguiente: Toda recta paralela a un lado de un triángulo, forma con los otros dos lados o con sus prolongaciones otro triángulo que es semejante al triángulo dado.

CONOCE Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales) , debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C. Primer teorema Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :

THALES Y LA PIRÁMIDE DE KEOPS Alrededor del año 600 a.C., Thales visitó Egipto, donde el faraón; que había oído hablar de la inteligencia de Thales; le pidió que

averiguara la altura de la Gran Pirámide de Keops. Para ello, nuestro gran sabio, clavó su bastón en el suelo de forma vertical y esperó… En el instante justo en el que la sombra de su bastón fue igual a la altura del bastón, entonces la sombra de la pirámide también sería igual a la altura de ésta. Suponemos que para poder llevar a cabo este experimento, recibiría ayuda de alguien. Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales) , debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C. Primer teorema Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :

Aplicacion de criterios de congruencia y semejanza de triángulos

Por ejemplo, los siguientes segmentos son congruentes:

Igualmente, los siguiente dos ángulos son congruentes, pues tienen la misma medida:

Los siguientes triángulos son congruentes, pues tienen las medidas de sus lados y de sus angulos iguales, uno a uno:

Para denotar matemáticamente que los triángulos  y  son congruentes, vamos a usar la notación:

  

y esto se leerá como: El triángulo  es congruente con el triángulo .

Existen tres criterios para determinar si dos triángulos dados son o no congruentes.

Los criterios son los siguientes:

• (i) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.
• (ii) Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo, y además los lados del ángulo considerado en cada triángulo son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes.
• (iii) Si las longitudes de los lados de un triángulo son congruentes a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}.

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de {\displaystyle x} x que cumplen con la expresión, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta").

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

Explicación de la Formula General

La deducción de la fórmula cuadrática viene de la fórmula de completar el cuadrado:

La ecuación canónica de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente principal, de forma que

 Si usamos otras letras para simplificarlo de forma queyla demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación 

Regla de la suma

"Si a los dos miembros de una ecuación,les sumamos o restamos el mismo número o la misma expresión algebraica, obtenemos una ecuación equivalente"

¿Qué quiere decir esto?

Imagina que tienes una balanza en equilibrio:

 

balanza

Si colocamos el mismo peso en los dos platillos, la balanza seguirá en equilibrio:

 

balanza

Esto es lo que ocurre en las ecuaciones al aplicar la regla de la suma, si aumentamos o disminuimos la misma cantidad (" el mismo peso") en los dos miembros de la igualdad ("en los dos platillos de la balanza"), la igualdad sigue siendo cierta para el mismo valor de la incógnita, es decir obtenemos otra ecuación equivalente.

 Por ejemplo, dada la ecuación:

x+5=14

Podemos sumar (-5) en los dos miembros obteniendo la ecuación equivalente que nos da la solución:

x+5-5=14-5

x=9

Uso del teorema de Pitágoras

Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,

Recordemos que:

• el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes.
• la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto

Nota: h siempre es mayor que los dos catetos, es decir, h > a y h > b.

El teorema de Pitágoras es uno de los resultados más conocidos de las matemáticas y también uno de los más antiguos. Existen cientos de demostraciones de este resultado.

La pirámide de Kefrén (siglo XXVI a. C.) fue construida en base al llamado triángulo sagrado egipcio, que es el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.

La comprensión del teorema es sencilla y tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, como veremos en los problemas de esta sección. Pero también tiene sus aplicaciones en las matemáticas avanzadas (análisis vectorial, análisis funcional...).

Problema 1

Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.

Los lados son

$$a=3cm,b=4cm$$

Aplicando el teorema de Pitágoras,

Por tanto, la hipotenusa mide 5cm

Teorema de Pitágoras

En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Triángulo rectángulo

Teorema de Pitágoras.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras

Demostración:

Demostración nº1

Si tenemos un triángulo rectángulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, más lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha.

El área de este cuadrado será (b+c)2.

Demostración nº2

Si ahora trazamos las hipotenusas de los triángulos rectángulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El área del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos azules (base por altura partido por 2):

más el área del cuadrado amarillo . Es decir, el área del cuadrado grande también es el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área del triángulo:

 

Podemos igualar las dos formas de calcular el área del cuadrado grande y tenemos:

 

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

 

que después de simplificar resulta lo que estábamos buscan